Tre metodi per risolvere i sistemi

Quelli con i sistemi di equazioni sono una tipologia di quesiti abbastanza comuni nel test. Non solo, infatti, potrete imbattervi in quesiti che vi chiedono di trovare le soluzioni di un sistema esplicitato dal testo, ma a volte potreste dover applicare un sistema di equazioni per risolvere un problema. E’ quindi importante che sviluppiate una certa dimestichezza con i sistemi di equazioni, in modo da risolverli nel modo più efficiente e veloce possibile durante il test.

Un sistema di equazioni può essere risolto utilizzando tre diversi metodi risolutivi. Solitamente, un metodo vale l’altro: si può giungere alle stesse soluzioni utilizzando – sullo stesso sistema – uno qualsiasi dei tre metodi. A volte però vi accorgerete che usare un metodo risolutivo piuttosto che un altro può farvi risolvere un sistema di equazioni molto più velocemente!

Ecco quindi il mio consiglio: se siete abituati ad usare uno specifico metodo per risolvere i sistemi e vi sentite sicuri con quello, non è indispensabile che impariate a memoria gli altri. Ma se riuscite a farlo senza troppa fatica (e vedrete, sarà così!), risolverete qualsiasi sistema in un batter d’occhio, ottimizzando il tempo a disposizione durante il test.

Ecco qui riassunti i tre metodi in questione.

 

METODO DELLA SOSTITUZIONE

Isoliamo una variabile di una delle due equazioni e la sostituiamo nell’altra equazione:

{x + y = 5

{x – y = 1

 

Isoliamo x nella seconda equazione e la sostituiamo nella prima:

{x + y = 5    →   {1 + 2y = 5

{x = 1 + y    →   {x = 1 + y

 

Risolviamo per y e sostituiamo il valore di y nella seconda equazione:

{y = 6/2 = 3       →   {y = 3

{x = 1 + 3 = 4     →   {x = 4

 

METODO DELLA RIDUZIONE

Sommiamo o sottraiamo un’equazione ad un multiplo dell’altra per eliminare una variabile:

{12x + 3y = 0

{x – y = 1

 

Moltiplichiamo la seconda equazione per 3:

{12x + 3y = 0

{3x – 3y = 3

 

Sommiamo le due equazioni:

12x + 3y 3x – 3y = 0 + 3

 

Ricaviamo:

15x = 3

 

Quindi:

{x = 1/5     →    {x = 1/5

{x – y = 1   →     {y = 1/5 – 1 = – 4/5

 

NB: Se vi accorgete che una delle due incognite ha lo stesso coefficiente in entrambe le equazioni o che il coefficiente di una è un multiplo di quello dell’altra, vi conviene applicare questo metodo: può facilitarvi i calcoli!

 

METODO DEL CONFRONTO

Isoliamo la stessa incognita in entrambe le equazioni ed eguagliamo il risultato:

{3x – y = 13   →    {3x = 13 + y 

{x + y = 7      →    {x = 7 – y

 

Eguagliamo i secondi membri delle due equazioni:

13 + y = 7 – y    →    2y = 6     →      y = 3

 

Possiamo ora ricavare x considerando una qualsiasi delle due equazioni:

x + y = 7    →    x + 3 = 7      →    x = 4

 

NB: Questo metodo risolutivo può essere particolarmente utile quando una incognita in almeno una delle due equazioni ha coefficiente 1!

 

CONCLUSIONE

Quando vi capita di risolvere esercizi o problemi con sistemi di equazioni, provate sempre ad applicare questi tre diversi metodi risolutivi. Più farete esercizi, più riuscirete a riconoscere quale metodo è meglio applicare in ogni occasione.

Ecco un sistema per voi: provate a risolverlo usando tutti e tre i metodi!

 

ESERCIZIO

Quali sono le soluzioni del seguente sistema? 

{x – 1/2y = 7/6

{y – x = 2/3

 

A. x = 3; y = 11/3

B. x = 18; y = 4/5

C. x = 16/7; y = 12

D. x = 11/3; y = 3

E. x = 11/6; y = 7

 

CORREZIONE COMMENTATA:

Metodo della sostituzione:

{x = 7/6 + 1/2y    →   {x = 7/6 + 1/2y     →     {x = 7/6 + 1/2y    →    {x = 7/6 + 1/2y    →    {x = 7/6 + 1/2(11/3) = 3    →    {x = 3

{y – 7/6 + 1/2y = 2/3    →    { y – 1/2y = 2/3 + 7/6    →    {1/2y = 11/6     →    {y = 11/3        

 

Metodo della riduzione:

(x – 1/2y) + (y – x) = 7/6 + 2/3

y -1/2y = 11/6

1/2y = 11/6   →    y=11/3

Sostituiamo y nella seconda equazione:

y – x = 2/3    →     11/3 – x = 2/3

x = 11/3 – 2/3 = 9/3 = 3    →   x = 3

 

Metodo del confronto:

{x = 7/6 + 1/2y

{x = y – 2/3    

→  x =  7/6 + 1/2y = y – 2/3

1/2y – y = -2/3 – 7/6

1/2y = 11/6   →    y=11/3

Sostituiamo y nella seconda equazione:

x= y – 2/3    →    x = 11/3 – 2/3 = 3    → x = 3 

In ogni caso: Risposta corretta A.