La “CAST Rule”: una scorciatoia per le disequazioni goniometriche (e non solo)

Con un numero relativamente elevato di formule e regole da ricordare, gli argomenti di trigonometria possono risultare particolarmente antipatici per alcuni di voi.

La nostra filosofia, come sempre, è quella di non arrendersi di fronte a queste difficoltà, ma affrontarle in maniera strategica ed efficiente. Spesso basta una lettura un po’ più schematica, o qualche esercizio in più, per rendersi conto che le domande su argomenti apparentemente ostici possono essere risolti facilmente.

In questa breve pillola, quindi, vi proponiamo una semplicissima regola che vi aiuterà a risolvere le disequazioni goniometriche con più sicurezza: la cosiddetta CAST Rule.

 

Disequazioni goniometriche

Le disequazioni goniometriche sono disequazioni in cui l’incognita compare nell’argomento di una funzione goniometrica. Ad esempio:

$$\sin(x)\leq\frac{1}{2}, \space 3\cos(x)\geq2$$

Sappiamo che per risolvere le disequazioni goniometriche è necessario ricordarsi il segno delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente) al variare dell’angolo. Nello specifico, dobbiamo ricordarci che:

  • La funzione del seno assume valori positivi per gli angoli del I e II quadrante della circonferenza goniometrica e valori negativi per gli angoli del III e IV quadrante;
  • La funzione del coseno assume valori positivi per gli angoli del I e IV quadrante della circonferenza goniometrica e valori negativi per gli angoli del II e III quadrante;
  • La funzione della tangente assume valori positivi per gli angoli del II e IV quadrante della circonferenza goniometrica e valori negativi per gli angoli del II e IV quadrante.

Ricordiamo, inoltre, i valori degli angoli all’interno dei quattro quadranti della circonferenza:

  • Il primo quadrante contiene gli angoli da 0° a 90°
  • Il secondo quadrante contiene gli angoli da 90° a 180°
  • Il terzo quadrante contiene gli angoli da 180° a 270°
  • Il quarto quadrante contiene gli angoli da 270° a 360°

 

La CAST Rule

La regola CAST permette di ricordare in maniera istantanea i segni delle funzioni goniometriche. Ci basta ricordare lo schema riportato di seguito, dove a partire dal IV quadrante della circonferenza goniometrica viene costruita la parola “CAST” disponendo le lettere nei quadranti della circonferenza in senso antiorario:

Ogni lettera indica quali funzioni sono positive nei rispettivi quadranti della circonferenza.

  • Nel IV quadrate troviamo la lettera C: soltanto il coseno assume valori positivi;
  • Nel I quadrante troviamo la lettera A: tutte le funzioni assumono valori positivi (“A” sta per all, “tutte” in inglese);
  • Nel II quadrante troviamo la S: il seno assume valori positivi;
  • Nel III quadrante, la T ci indica che la tangente assume valori positivi.

D’ora in poi, quindi, potrete affidarvi a questo schemino per facilitarvi la vita quando incontrate esercizi di trigonometria come le disequazioni goniometriche.

Nella speranza di esservi stati utili, in bocca al lupo per la vostra preparazione!

 

 

ESERCIZI

Esercizio 1

Quali sono le soluzioni della disequazione cos(x)>0?

  1. 3/2π < x < 2π
  2. π + 2kπ < x < 3/2π + 2kπ V 3/2π + 2kπ < x < 2π + 2kπ
  3. 3/2π + 2kπ < x < 2π + 2kπ
  4. 2kπ < x < π/2 + 2kπ V 3/2π + 2kπ < x < 2π +2kπ
  5. 3/2π + 2kπ < x < π/2

Correzione commentata

Come primo passaggio, escludiamo le opzioni che non presentano la periodicità del coseno: la A, la C e la E.

A questo punto consideriamo la circonferenza goniometrica. (Affidandoci alla CAST Rule) ricordiamo che il coseno è positivo nel I e IV quadrante. Scriviamo dunque la soluzione alla disequazione dell’esercizio indicando gli intervalli:

$$0<x<\frac{\pi}{2} \vee \frac{3}{2}\pi<x<2\pi$$

Aggiungiamo la periodicità del seno:

$$0 + 2k\pi<x<\frac{\pi}{2}+ 2k\pi \vee \frac{3}{2}\pi+ 2k\pi<x<2\pi+ 2k\pi$$

Risposta corretta D.

 

 

Esercizio 2

Si consideri l’equazione sen(x) – cos(x) = 0. Quale tra i seguenti valori di x ne sono la soluzione?

  1. 3π/4 + kπ V 3π/4 – kπ
  2. π/4 + kπ V π/4 – kπ
  3. π/4 + k(π/2) V π/4 – k(π/2)
  4. 2π/3 + k(π/2) V 2π/3 – k(π/2)
  5. π/2 + k(π/2) V π/2 – k(π/2)

Correzione commentata

Possiamo riscrivere la disequazione in questione come segue:

$$\sin(x)=\cos(x)$$

Di conseguenza, si tratta di trovare gli angoli il cui seno e coseno sono uguali.

Per risolvere questo quesito, visualizziamo la circonferenza goniometrica. Possiamo individuare che gli angoli in questione sono quello di 45° e quello di 225° (soltanto nel I e III quadrante, infatti, seno e coseno hanno lo stesso segno). La soluzione dell’equazione è dunque:

$$x=\frac{\pi}{4}\pm2k\pi, x=\frac{5}{4}\pi\pm2k\pi$$

Quindi:

$$x=\frac{\pi}{4}\pm k\pi$$

Risposta corretta B.